# ساکل موضعی (C(X

نوع مقاله : اصیل

نویسندگان

گروه ریاضی، دانشگاه شهید چمران اهواز

چکیده

در این مقاله به معرفی و مطالعه‌ی \$LC_F(X)\$ ، ساکل موضعی \$C(X)\$، می‌پردازیم، که عبارت است از \$LC_F(X)={fin C(X) : overline{S_f}=X}\$ که در آن \$S_f\$ برابر با اجتماع مجموعه‌های باز \$Usubseteq X\$ به طوری که \$Ubackslash Z(f)|<infinity|\$. گیریم \$C_F(X)\$ نمایش ساکل \$C(X)\$ است، نشان می‌دهیم که \$LC_F(X)\$ یک \$z\$-ایدآل \$C(X)\$ شامل \$C_F(X)\$ است. شرایط برقراری تساوی در رابطه‌ی \$C_F(X)subseteq LC_F(X)subseteq C(X)\$ را بررسی می‌کنیم و در واقع نشان می‌دهیم که \$X\$ یک فضای تقریباً گسسته است اگر و تنها اگر \$LC_F(X)=C(X)\$. توجه می‌کنیم که هرگاه \$X\$ یک فضای نامتناهی باشد، \$C_F(X)\$ هرگز بر \$C(X)\$ منطبق نیست. همچنین ثابت می‌کنیم که \$|I(X)|<infty\$ اگر و تنها اگر \$LC_F(X)=C_F(X)\$. به علاوه هرگاه \$|I(X)|<infty\$ باشد، آن‌گاه \$LC_F(X)\$ در هیچ‌یک از زیرحلقه‌های \$C(X)\$ شامل آن اساسی نمی‌باشد. در حالی که می‌بینیم \$LC_F(X)\$ اشتراکی از ایدال‌های اساسی است. شرایطی را بیان می‌کنیم که \$LC_F(X)\$ در هیچ زیرحلقه‌ی \$C(X)\$ که شامل خودتوان‌های \$C(X)\$ است یک ایدال اول نمی‌باشد. همچنین اول بودن \$LC_F(X)\$ را در برخی از زیرحلقه‌های \$C(X)\$ مشخص می‌کنیم.

کلیدواژه‌ها

موضوعات

عنوان مقاله [English]

### Locally Socle of C(X)

نویسندگان [English]

• somayeh soltanpour
Department of Mathematics, Shahid Chamran university
چکیده [English]

Let \$LC_F(X)\$ be the socle of \$C(X)\$ and \$LC_F(X)={fin C(X) : overline{S_f}=X}\$ , where \$S_f\$ is the union of all open subsets \$U\$ in \$X\$ such that \$Ubackslash Z(f)|<infinity|\$, \$LC_F(X)\$ is called the locally socle of \$C(X)\$ and it is a \$z\$-ideal of \$C(X)\$ containing \$C_F(X)\$. We characterize spaces \$X\$ for which the equality in the relation \$C_F(X)subseteq LC_F(X)subseteq C(X)\$ is hold. In fact, we show that \$X\$ is an almost discrete space if and only if \$LC_F(X)=C(X)\$. We note that if \$X\$ is an infinite space, then \$C_F(X)subsetneq C(X)\$. We also observe that \$|I(X)|<infty\$ if and only if \$LC_F(X)=C_F(X)\$. Moreover, it is shown that if \$|I(X)|<infty\$, then \$LC_F(X)\$ is never essential in any subring of \$C(X)\$ , while \$LC_F(X)\$ is an intersection of essential ideals of \$C(X)\$. We determine the conditions such that \$LC_F(X)\$ is not prime in any subring of \$C(X)\$ which contains the idempotents of \$C(X)\$. We investigate the primness of \$LC_F(X)\$ in some subrings of \$C(X)\$ .

کلیدواژه‌ها [English]

• socle
• z-ideal
• almost discrete space
• locally socle
• essential ideal

#### مراجع

Azarpanah, F. (1997). Intersection of essential ideals in C(X), Proc. Amer. Math. Soc.125, 2149-2154.
Azarpanah, F. and Karamzadeh, O. A. S. (2002). Algebraic characterization of some disconnected spaces, Italian. J. Pure Appl. Math. 12, 155-168
Azarpanah, F., Karamzadeh, O. A. S. and Rahmati, S. (2008). C(X) VS. C(X) modulo its socle, Coll. math. 3, 315-336.
Estaji, A. and Karamzadeh, O. A. S. (2003). On C(X) Modulo its socle, Comm. Algebra 31, 1561-1571.
Karamzadeh, O. A. S. and Rostami, M. (1985). On the intrinsic topology and some related ideals of C(X), Proc. Amer. Math. Soc. 93, 179-184.
Henriksen, M. (2002).Topology related to rings of real-valued continuous functions. Where it has been and where it might be going, Recent Progress In General Topology II, eds M. Husek and J. Van Mill, (Elsevier Science), pp: 553-556.
Ghadermazi, M., Karamzadeh, O. A. S. and Namdari, M. (2013). On the functionally countable subalgebra of C(X), Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 129, 47-69.
Ghadermazi, M., Karamzadeh, O. A. S. and Namdari, M. (2014). C(X) versus its functionally countable subalgebra, submitted to Fundamenta Mathematicae.
Karamzadeh, O. A. S., Namdari, M. and Soltanpour, S. (2015). On the locally functionally countable subalgebra of C(X), Appl. Gen. Topol., 16, 183-207.
Dube, T. (2010). Contracting the Socle in Rings of Continuous Functions, Rend. Semin. Mat. Univ. Padova. 123, 37-53.
Engelking, R. (1989). General Topology, Heldermann Verlag Berlin.
Gillman, L. and Jerison, M. (1976). Rings of continuous functions, Springer-Verlag.
Goodearl, K. R. and Warfield R. B. (1989). An introduction to noncommutative noetherian rings, Cambridge University Press.

### سابقه مقاله

• تاریخ دریافت: 12 شهریور 1393
• تاریخ بازنگری: 06 اردیبهشت 1394
• تاریخ پذیرش: 08 اردیبهشت 1394