زیرجبر تفکیک‌پذیر تابعی C(X)

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسنده

گروه علوم پایه، دانشکده نفت اهواز، دانشگاه صنعت نفت، اهواز، ایران

چکیده

نقش مفید زیر جبر شمارا تابعی $C_c(X)$ در مطالعه‌ی $C(X)$، انگیزه‌بخش معرفی و مطالعه‌ی زیرحلقه‌ی $C_{cd}(Y)$
از $C(X)$ است که آن‌را زیرجبر تفکیک‌پذیر تابعی حلقه‌ی توابع پیوسته‌ی حقیقی می‌نامیم. گیریم $Y$ یک زیرمجموعه‌ی چگال $X$ ‌باشد، در این صورت $C_{cd}(Y)={fin C(X): |f(Y)|leq {aleph}_0}$. آشکارا $C_c(X)subseteq C_{cd}(Y)subseteq C(X)$، می‌بینیم که $C_{cd}(Y)$ در بسیاری خواص همانند $C(X)$ و $C_c(X)$ رفتار می‌کند. ارتباط خواص جبری $C_{cd}(Y)$ و خواص توپولوژیکی $X$ را بررسی نموده، به‌ویژه فضاهای توپولوژیکی $X$ را جست‌وجو می‌کنیم که برای آن‌ها $C_c(Y)=C_{cd}(X)$ یا $C_{cd}(Y)=C(X)$ که در حالت اخیر $X$ را فضای تفکیک‌پذیر تابعی می‌نامیم. هرگاه $X$ یک فضای شماراتابعی یا تفکیک‌پذیر باشد، آن‌گاه $C_{cd}(Y)=C(X)$. اگر فضای $X$ شبه‌فشرده و $beta X$ تفکیک‌پذیر باشد، آن‌گاه هر $fin C(X)$ روی یک زیرمجموعه چگال از $X$ شماراست. برعکس، اگر هر $fin C(X)$ روی یک زیرمجموعه چگال از $X$ شمارا و هر $G_{delta}$‌-مجموعه‌ دارای درون ناتهی باشد، آن‌گاه $C(X)=C_c(X)$. زیرجبر تفکیک‌پذیر تابعی موضعی $C(X)$ را به‌صورت $C_{cod}(X)={fin C(X) : f(Y)|leq aleph_0 , text{برای یک زیرمجموعه‌ی چگال باز $Y$ از $X$}}$ تعریف می‌کنیم، در این صورت $C_{cod} X)subseteq L_c(X)$. ثابت می‌کنیم که برای یک فضای فشرده موضعی و شبه‌فشرده‌ی $X$، $C_{cod}(X)=C(X)$ اگر و تنها اگر $C_{cod}(beta X)=C(beta X)$. در ادامه $z_{cod}$-ایدال‌ها در $C_{cod}(X)$ را معرفی نموده و می‌بینیم که بیشتر قضایای راجع به $z$-ایدال‌ها را می‌توان برای $z_{cod}$-ایدال‌ها هم بیان نمود.

کلیدواژه‌ها

موضوعات

عنوان مقاله [English]

Functionally Separable Subalgebra of C(X)

نویسنده [English]

  • Somayeh Soltanpour
Department of Science, Petroleum Faculty of Ahvaz, Petroleum University of Technology, Ahvaz, Iran
چکیده [English]

The useful role of $C_c(X)$ in studying $C(X)$ motivated us to introduce and study the functionally separable subalgebra $C_{cd}(Y)$ of $C(X)$. Let $Y$ be a dense subset of $X$, $C_{cd}(Y)={fin C(X): |f(Y)|leq {aleph}_0}$. Clearly, $C_c(X)subseteq C_{cd}(Y)subseteq C(X)$ and $C_{cd}(Y)$ behaves like $C(X)$ and $C_c(X)$ in more properties. If $X$ is a functionally countable or separable space then $C_{cd(Y)=C(X)$, in this case $X$ is called functionally separable space. Whenever $X$ is pseudocompact and $beta X$ is separable, then each $fin C(X)$ is countable on a dense subset of $X$. Conversely, if each $fin C(X)$ is countable on a dense subset of $X$ and each $G_{delta}$‌-set has nonempty interior, then $C(X)=C_c(X)$. ‌ Locally functionally separable subalgebra of $C(X)$ is denoted by $C_{cod}(X)$ where $C_{cod}(X)={fin C(X) : |f(Y)|leq aleph_0 , text{~~for some open dense subset $Y$ of $X$}}$, clearly $C_{cod}(X)subseteq L_c(X)$. For a locally compact and pseudocompact space $X$, $C_{cod}X)=C(X)$ if and only if $C_{cod}(beta X)=C(beta X)$. We introduce $z_{cod}$-ideals in $C_{cod}(X)$ and trivially observe that most of the facts related to $z$-ideals are extendable to $z_{cod}$-ideals.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Scattered
  • Functionally countable
  • Separable
  • Functionally separable
  • Locally functionally separable

مراجع

[1] Acharyya S. K, Chattopadhyay K. C. and Ghosh D. P., On a class of subalgebra of C(X) and the intersection of their maximal ideals, Proc. Amer. Math. Soc., 125 (1997), 611–615.
[2] Barr M. and Burgess W. D. and Raphael R., Ring epimorphisms and C(X), Theory Appl. Categ. 11, 12 (2003), 283–308.
[3] Burgess W. D, Raphael R., Compactifications, C(X) and ring epimorphisms, Theory Appl. Categ. 16, 21 (2006), 558–584.
[4] Bhattacharjee P. Knox M. L. and Mcgovern W. M., The classical ring of quotients of Cc(X), Appl. Ge Topol. 15, 2 (2014), 147–154.
[5] Dominguez J. M. and Goz-Perez J., There do not exist minimal algebras between C(X) and C(X) with prescribed real maximal ideal space, Acta. Math. Hungar. 94 (4) (2002), 351–355.
[6] Engelking R., General Topology, Heldermann Verlag Berlin, 1989.
[7] Ghadermazi M. Karamzadeh O. A. S. and Namdari M., On the functionally countable subalgebra of C(X), Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 129 (2013), 47–69.
[8] Ghadermazi M. Karamzadeh O. A. S. and Namdari M., C(X) versus its functionally countable subalgebra, submitted.
[9] Ghadermazi M. and Namdari M., On a-scattered spaces, Far East j. Math. Sci. (FJMS), 32 (2009), 267–274.
[10] Gillman L. and Jerison M., Rings of continuous functions, Springer-Verlag, 1976.
[11] Hrusak M, Raphael R. and Woods R.G.,On a class of pseudocompact spaces derived from ring epimorphisms, Topology Appl. 153 (2005), 541–556.
[12] Hager, A., On inverse-closed subalgebras of C(X), Proc. London, Math. Soc. 19 (1969), 233–257.
[13] Karamzadeh O. A. S. Namdari M. and Siavoshi M. A., A note on -compact spaces, Math. Slovaca, 63 (2013), 1371–1380.
[14] Levy R. and Matveev M., Functional separability, Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae, 51 (2010), 705–711.
[15] Matveev M., One more topological equivalent of CH, Topology Appl. 157 (2010), 1211– 1214.
[16] Namdari M. and Veisi A., The subalgebra of Cc(X) consisting of elements with countable image versus C(X) with respect to their rings of quotients, Far East J. Math. Sci. (FJMS), 59 (2011), 201–212.
[17] Namdari M. and Veisi A., Rings of quotients of the subalgebra of C(X) consisting of functions with countable image, Inter. Math. Forum, 7 (2012), 561–571.
[18] Pelczynski A. and Semadeni Z., Spaces of continuous functions (III), Studia Mathematica 18 (1959), 211–222.
[19] Raphael M. and Woods R. G., The epimorphic hull of C(X), Topology Appl. 105 (2002), 65–88.
[20] Redlin L. and Watson S., Maximal ideals in subalgebra ofC(X), Proc. Amer. Math. Soc. 100 (1987), 763–766.
[21] Rudd D., On two sum theorems for ideals of C(X), Michigan. Math. J. 17 (1970), 139–141.
[22] Rudin W., Continuous functions on compact spaces without perfect subsets, Proc. Amer. Math. 8 (1957), 39–42.
مجله مدل‌سازی پیشرفته ریاضی
دوره 11، شماره 2
تیر 1400
صفحه 241-252

فایل ها

سابقه مقاله

  • تاریخ دریافت: 01 آبان 1399
  • تاریخ بازنگری: 27 دی 1399
  • تاریخ پذیرش: 13 بهمن 1399

هم رسانی

ارجاع به این مقاله

آمار