زیرجبر تفکیک‌پذیر تابعی C(X)

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسنده

گروه علوم پایه، دانشکده نفت اهواز، دانشگاه صنعت نفت، اهواز، ایران

چکیده

نقش مفید زیر جبر شمارا تابعی $C_c(X)$ در مطالعه‌ی $C(X)$، انگیزه‌بخش معرفی و مطالعه‌ی زیرحلقه‌ی $C_{cd}(Y)$
از $C(X)$ است که آن‌را زیرجبر تفکیک‌پذیر تابعی حلقه‌ی توابع پیوسته‌ی حقیقی می‌نامیم. گیریم $Y$ یک زیرمجموعه‌ی چگال $X$ ‌باشد، در این صورت $C_{cd}(Y)={fin C(X): |f(Y)|leq {aleph}_0}$. آشکارا $C_c(X)subseteq C_{cd}(Y)subseteq C(X)$، می‌بینیم که $C_{cd}(Y)$ در بسیاری خواص همانند $C(X)$ و $C_c(X)$ رفتار می‌کند. ارتباط خواص جبری $C_{cd}(Y)$ و خواص توپولوژیکی $X$ را بررسی نموده، به‌ویژه فضاهای توپولوژیکی $X$ را جست‌وجو می‌کنیم که برای آن‌ها $C_c(Y)=C_{cd}(X)$ یا $C_{cd}(Y)=C(X)$ که در حالت اخیر $X$ را فضای تفکیک‌پذیر تابعی می‌نامیم. هرگاه $X$ یک فضای شماراتابعی یا تفکیک‌پذیر باشد، آن‌گاه $C_{cd}(Y)=C(X)$. اگر فضای $X$ شبه‌فشرده و $beta X$ تفکیک‌پذیر باشد، آن‌گاه هر $fin C(X)$ روی یک زیرمجموعه چگال از $X$ شماراست. برعکس، اگر هر $fin C(X)$ روی یک زیرمجموعه چگال از $X$ شمارا و هر $G_{delta}$‌-مجموعه‌ دارای درون ناتهی باشد، آن‌گاه $C(X)=C_c(X)$. زیرجبر تفکیک‌پذیر تابعی موضعی $C(X)$ را به‌صورت $C_{cod}(X)={fin C(X) : f(Y)|leq aleph_0 , text{برای یک زیرمجموعه‌ی چگال باز $Y$ از $X$}}$ تعریف می‌کنیم، در این صورت $C_{cod} X)subseteq L_c(X)$. ثابت می‌کنیم که برای یک فضای فشرده موضعی و شبه‌فشرده‌ی $X$، $C_{cod}(X)=C(X)$ اگر و تنها اگر $C_{cod}(beta X)=C(beta X)$. در ادامه $z_{cod}$-ایدال‌ها در $C_{cod}(X)$ را معرفی نموده و می‌بینیم که بیشتر قضایای راجع به $z$-ایدال‌ها را می‌توان برای $z_{cod}$-ایدال‌ها هم بیان نمود.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


عنوان مقاله [English]

Functionally Separable Subalgebra of C(X)

نویسنده [English]

  • Somayeh Soltanpour
Department of Science, Petroleum Faculty of Ahvaz, Petroleum University of Technology, Ahvaz, Iran
چکیده [English]

The useful role of $C_c(X)$ in studying $C(X)$ motivated us to introduce and study the functionally separable subalgebra $C_{cd}(Y)$ of $C(X)$. Let $Y$ be a dense subset of $X$, $C_{cd}(Y)={fin C(X): |f(Y)|leq {aleph}_0}$. Clearly, $C_c(X)subseteq C_{cd}(Y)subseteq C(X)$ and $C_{cd}(Y)$ behaves like $C(X)$ and $C_c(X)$ in more properties. If $X$ is a functionally countable or separable space then $C_{cd(Y)=C(X)$, in this case $X$ is called functionally separable space. Whenever $X$ is pseudocompact and $beta X$ is separable, then each $fin C(X)$ is countable on a dense subset of $X$. Conversely, if each $fin C(X)$ is countable on a dense subset of $X$ and each $G_{delta}$‌-set has nonempty interior, then $C(X)=C_c(X)$. ‌ Locally functionally separable subalgebra of $C(X)$ is denoted by $C_{cod}(X)$ where $C_{cod}(X)={fin C(X) : |f(Y)|leq aleph_0 , text{~~for some open dense subset $Y$ of $X$}}$, clearly $C_{cod}(X)subseteq L_c(X)$. For a locally compact and pseudocompact space $X$, $C_{cod}X)=C(X)$ if and only if $C_{cod}(beta X)=C(beta X)$. We introduce $z_{cod}$-ideals in $C_{cod}(X)$ and trivially observe that most of the facts related to $z$-ideals are extendable to $z_{cod}$-ideals.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Scattered
  • Functionally countable
  • Separable
  • Functionally separable
  • Locally functionally separable