ساختار ایدآل‌های قطری-پایا در *-جبرهای اکسل-پاردو

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسنده

گروه ریاضی، دانشکده علوم ریاضی و کامپیوتر، دانشگاه شهید چمران اهواز، اهواز، ایران

چکیده

گراف‌های خود-متشابه و $C^*$-جبرهای متناظر توسط اکسل و پاردو در سال 2017 معرفی شدند. این جبرها توسیع گرافی از جبرهای مهم کاتسورا و نکراشویچ هستند که در سال‌های اخیر بسیار مورد توجه قرار گرفتند. اخیرا نمونه جبری آن‌ها (که جبرهای اکسل-پاردو نامیده می‌شود) نیز معرفی شده و مورد مطالعه قرار گرفته است. در این مقاله کوتاه، ساختار ایدآل‌های جبرهای اکسل-پاردو را مطالعه می‌کنیم. برای این منظور، ابتدا این جبرها را در قالب جبرهای استاینبرگ نمایش می‌دهیم. سپس به کمک این نمایش، ایدآل‌های مدرج و قطری-پایای جبرهای اکسل-پاردو را متناظر با ساختار گرافی مشخص می‌کنیم. این نتیجه توسیعی از ساختار ایدآل‌های مدرج در جبرهای مسیری لیویت است.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


عنوان مقاله [English]

Structure of diagonal-invariant ideals in Exel-Pardo $*$-agebras

نویسنده [English]

  • Hossein Larki
Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Computer Science, Shahid Chamran University of Ahvaz, Ahvaz, Iran
چکیده [English]

As a unified treatment of Katsura and Nekrashevych $C^*$-algebras, Exel and Pardo introduced self-similar graph $C^*$-algebras in 2017. More recently, the algebraic version of these $C^*$-algebras (called Exel-Pardo algebras) are introduced and considered by some authors. In this note, we study the ideal structure of Exel-Pardo algebras. To do this, we first give a short proof for representing these algebras as Steinberg algebras. Then, by this result, we characterize basic, graded, and diagonal-invariant ideals of Exel-Pardo algebras by underlying graph structure. This result generalizes the graded ideal structure of Leavitt path algebras to self-similar graphs.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Self-similar graph
  • Exel-Pardo algebra
  • Steinberg algebra
  • diagonal-invariant ideal
[1] Anantharaman-Delaroche C. and Renault J., Amenable groupoids, volume 36 of Monographs of
L’Enseignement Mathématique, Geneva, 2000.
[2] Bédos E., Kaliszewski S. and Quigg J., On Exel-Pardo algebras, J. Operator Theory 78(2) (2017),
309-345.
[3] Clark L.O. and Edie-Michell C., Uniqueness theorems for Steinberg algebras, Algebra Represent.
Theory 18 (2015), 907-916.
[4] Clark L.O. and Edie-Michell C., an Huef A. and Sims A., Ideals of Steinberg algebras of strongly
effective groupoids, with applications to Leavitt path algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 371 (2019),
5461-5486.
[5] Clark L.O., Exel R. and Pardo E., A generalized uniqueness theorem and the graded ideal structure of
Steinberg algebras, Forum Math. 30 (3) (2018), 533-552.
[6] Clark L.O., Farthing C., Sims A. and Tomforde M., A groupoid generalisation of Leavitt path algebras,
Semigroup Forum 89 (2014), 501-517.
[7] Exel R. and Pardo E., Self-similar graphs, a unified treatment of Katsura and Nekrashevych C∗-
algebras, Adv. Math. 306 (2017), 1046-1129.
[8] Exel R., Pardo E. and Starling C., C∗-algebras of self-similar graphs over arbitrary graphs, preprint,
arXiv:1807.01686 (2018).
[9] Hazrat R., Pask D., Sierakowski A. and Sims A., An algebraic analogue of Exel-Pardo C∗-algebras,
Algebr. Represent. Theory (2020). https://doi.org/10.1007/s10468-020-09973-x.
[10] Katsura T., A construction of actions on Kirchberg algebras which induce given actions on their
K-groups, J. Reine Angew. Math. 617 (2008), 27-65.
[11] Larki H., A dichotomy for simple self-similar graph C∗-algebras, J. Math Anal. Appl 494(2) (2021),
124622.
[12] Li H. and Yang D., Self-similar k-graph C∗-algebras, Int. Math. Res. Not., IMRN, doi:
10.1093/imrn/rnz146.
[13] Nekrashevych V., Cuntz-Pimsner algebras of group actions, J. Operator Theory 52 (2004), 223-249.
[14] Renault J., A groupoid approach to C∗-algebras, Lecture Notes in Mathematics, vol. 793, Springer,
Berlin, 1980.
[15] Steinberg B., A groupoid approach to inverse semigroup algebras, Adv. Math. 223 (2010), 689-727.
[16] Steinberg B., Simplicity, primitivity and semiprimitivity of étale groupoid algebras with applications
to inverse semigroup algebras, J. Pure Appl. Algebra 220(3) (2016), 1035-1054.
[17] Tomforde M., Leavitt path algebras with coefficients in a commutative ring, J. Pure Appl. Algebra
215 (2011), 471-484.