قیمت‌گذاری اختیارهای آمریکایی بدون سررسید تحت مدل پرش انتشار با رژیم سوئیچینگ

حیدری, ساغر; آذری, حسین

doi:10.22055/jamm.2022.39634.1999

قیمت‌گذاری اختیارهای آمریکایی بدون سررسید تحت مدل پرش انتشار با رژیم سوئیچینگ

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسندگان

¹ دانشکده علوم ریاضی، گروه بیم سنجی، دانشگاه شهید بهشتی، تهران، ایران

² دانشکده علوم ریاضی، گروه ریاضی کاربردی و صنعتی، دانشگاه شهید بهشتی، تهران، ایران

10.22055/jamm.2022.39634.1999

چکیده

در این مقاله مساله قیمت‌گذاری اختیارهای آمریکایی بدون سررسید با ویژگی مرزهای

آزاد را به کمک رویکرد معادلات دیفرانسیل مورد بررسی قرار می‌دهیم. برای توصیف دینامیک دارایی پایه‌ی این اختیارها، از مدل‌های پرش انتشار تحت رژیم سوئیچینگ استفاده می‌کنیم. تحت این مدل‌ها

به منظور یافتن قیمت اختیارها، به دلیل امکان انتقال میان حالت‌های مختلف سیستم از یک سو و امکان اعمال زود هنگام اختیار از سوی دیگر، نیازمند حل دستگاه معادلات دیفرانسیل انتگرال معمولی با ویژگی مرزهای آزاد هستیم. برای این منظور ابتدا دستگاه معادلات ایجاد شده از این مدل‌ها را تشکیل داده و سپس به مساله مکمل خطی تبدیل می‌کنیم. برای یافتن جواب‌های عددی مساله مکمل خطی ایجاد شده از روش تفاضلات متناهی برای تقریب مشتقات و ‌از روش درونیابی خطی برای تقریب جمله انتگرال استفاده می‌کنیم. سپس با بهره‌گیری از اصل ماکزیمم گسسته، به تحلیل تقریب بدست آمده به کمک روش پیشنهادی می‌پردازیم. در نهایت با ارائه مثال‌های عددی همگرایی روش را بررسی کرده و صحت و دقت نتایج بدست آمده را به عنوان تقریب اختیارهای بلند مدت نشان می‌دهیم.

کلیدواژه‌ها

موضوعات

ریاضی مالی

عنوان مقاله [English]

PRICING PERPETUAL AMERICAN OPTIONS UNDER REGIME SWITCHING JUMP DIFFUSION MODELS

نویسندگان [English]

Saghar Heidari ¹
Hossein Azari ²

¹ Faculty of Mathematical Sciences, Department of Actuarial Science, Shahid Beheshti University, Tehran , Iran

² Faculty of Mathematical Sciences, Department of Applied Mathematics, Shahid Beheshti University, Tehran, Iran

چکیده [English]

In this article, we examine the issue of pricing perpetual American option with a differential equation approach with free boundary properties. To describe the underlying asset dynamics in these options, we use the feature of jump-diffusion models under regime switching. In pricing these perpetual options, due to the possibility of early application, we need to solve the ordinary integro-differential equation with a free boundary. For this purpose, we write the equation created from this model first as a linear complementarity problems and then discretize by using the finite difference method. We use linear interpolation to approximate the

integral term. The discrete maximum principle is applied to the linear complementarity

problems to obtain the error estimates. We also illustrate some numerical results in order

to demonstrate and compare the accuracy of the method for our problem.

کلیدواژه‌ها [English]

Perpetual American option
Jump-Diffusion model
Regime-Switching model
Finite Difference method
Discrete maximum principle

مراجع

[1] S. Asmussen, F. Avram, and M. R Pistorius. Russian and american put options under exponential phase–type lévy models. Stochastic Processes and their Applications, 109(1):79–111, 2004.
[2] S. I. Boyarchenko and S. Z Levendorskii. Option pricing for truncated lévy processes. International Journal of Theoretical and Applied Finance, 3(03):549–552, 2000.
[3] S. I. Boyarchenko and S. Z Levendorskii. Perpetual american options under lévy processes. SIAM Journal on Control and Optimization, 40(6):1663–1696, 2002.
[4] T. Chan. Pricing perpetual american options driven by spectrally one–sided lévy processes. preprint, 2000.
[5] X. liang Cheng and L. Xue. On the error estimate of finite difference method for the obstacle problem. Applied mathematics and computation, 183(1):416–422, 2006.
[6] A. Holmes, H. Yang, and S. Zhang. A front–fixing finite element method for the valuation of American options with regime–switching. International Journal of Computer Mathematics, 89(9):1094–1111, 2012.
[7] Z. Jiang and M. R. Pistorius. On perpetual American put valuation and first–passage in a regime–switching model with jumps. Finance and Stochastics, 12(3):331–355, 2008.
[8] A. Jobert and L. CG Rogers. Option pricing with markov-modulated dynamics. SIAM Journal on Control and Optimization, 44(6):2063–2078, 2006.
[9] S. G. Kou and H. Wang. Option pricing under a double exponential jump diffusion model. Management science, 50(9):1178–1192, 2004.

[10] A. Le, Z. Cen, and A. Xu. A robust upwind difference scheme for pricing perpetual American put options under stochastic volatility. International Journal of Computer Mathematics, 89(9):1135–1144,2012.
[11] H. P. McKean. Appendix: A free boundary problem for the heat equation arising from a problem in mathematical economics. Sloan Management Review, 6(2):32, 1965.
[12] E. Mordecki. Optimal stopping and perpetual options for lévy processes. Finance and Stochastics, 6(4):473–493, 2002.
[13] S. Salmi and J. Toivanen. An iterative method for pricing American options under jump–diffusion models. Applied Numerical Mathematics, 61:821–831, 2011.
[14] T. Jinying and Z. Zhenzhong . An explicit solution for perpetual American put options in a Markov–modulated jump–diffusion model. Progress in Applied Mathematics, 4(2):65–77, 2012.
[15] Q. Zhang and X. Guo. Closed–form solutions for perpetual American put options with regime–switching. SIAM Journal on Applied Mathematics, 64(6):2034–2049, 2004.