# یادداشتی کوتاه بر ویژگی ماروت در حلقه‌ی توابع پیوسته

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسندگان

گروه ریاضی، دانشکده علوم کامپیوتر و ریاضی، دانشگاه شهید چمران اهواز، اهواز، ایران

چکیده

قرار می‌دهیم

$X=Y\cup\left\{\omega\right\}$ که

$\omega\notin Y$ و توپولوژی روی

$X$ را به این صورت در نظر می‌گیریم که

$Y$ دارای توپولوژی گسسته است و همسایگی‌های

$\omega$ متمم زیرمجموعه‌های بسته و گسسته در توپولوژی رویه ریمانی $Y$اند.

ایدآل

$I$ از

$C^*(X)$، که حلقه‌ی توابع پیوسته حقیقی-مقدار کراندار روی

$X$ است، را درنظر می‌گیریم.

یک نتیجه از ادلر و ویلیامز نشان می‌دهد که ایدآل $I$ شامل یک عضو منظم است اگر و تنها اگر توسط مجموعه‌ای ازعناصرمنظم تولید شود. با الهام گرفتن از این نتیجه، در این مقاله ما به بررسی شرایطی بر فضای توپولوژی $X$ می‌پردازیم که تحت آن‌ها حلقه‌ی توابع پیوسته حقیقی-مقدار روی $X$ ماروت باشد. بعلاوه، در این مقاله یک شرط کافی برای اینکه یک حلقه‌ی شبه-بزو یک حلقه‌ی جمعی منظم شود را ارائه می‌دهیم.

کلیدواژه‌ها

موضوعات

عنوان مقاله [English]

### A short note on the Marot property in rings of continuous functions

نویسندگان [English]

• Farimah Farrokhpay
Department of Mathematics, Faculty of Mathematical Sciences and Computer, Shahid Chamran University of Ahvaz, Ahvaz, Iran
چکیده [English]

Let $X=Y\cup \left\{\omega\right\}$ where $\omega \notin Y$, topologized by equipping $Y$ with the discrete topology, and by letting deleted neighborhoods of $\omega$ consist of complements of closed discrete subsets of $Y$ in its Riemann surface topology. Assume that $I$ is an ideal of $C^{*}(X)$ where $C^{*}(X)$ is the ring of all bounded real-valued continuous functions on $X$. A result of Adler and Williams showed that $I$ contains a regular element if and only if a set of regular elements generates $I$. In this note, we obtain some conditions on $X$ for which the rings of continuous functions on $X$ are Marot. Moreover, this paper gives a sufficient condition for a quasi-B\'ezout ring to be additively regular.

کلیدواژه‌ها [English]

• Marot ring
• regular
• ring of continuous functions

#### مراجع

 A. Adler and R.D. Williams, Transferring results from rings of continuous functions to rings of analytic functions, Canadian J. Math. 27 (1975) 75-87.
 F. Azarpanah, F. Farokhpay and E. Ghashghaei, Annihilator-stability and unique generation in C(X), J. Algebra Appl. 18 (2019) 1950122, 16 pp.
 F. Azarpanah, O.A.S. Karamzadeh and A. Rezai Aliabad, On z◦-ideals in C(X), Fund. Math. 160 (1999) 15-25.
 F. Azarpanah and A.R. Salehi, Ideal structure of the classical ring of quotients of C(X), Topology Appl. 209 (2016) 170-180.
 F. Dashiell, A. Hager and M. Henriksen, Order-Cauchy completions of rings and vector lattices of continuous functions, Can. J. Math. 32 (1980) 657-685.
 L. Gillman and M. Jerison, Rings of Continuous Functions, The University Series in Higher Math., Van Nostrand, Princeton, N. J., 1960.
 R. Gilmer and J. Huckaba, Δ-Rings, J. Algebra 28 (1974) 414-432.
 M. Henriksen and R.G. Woods, Cozero complemented spaces; when the space of minimal prime ideals of a C(X) is compact, Topology Appl. 141 (2004) 147-170.
 J.A. Huckaba, Commutative Rings with Zero divisors, Monographs and Text-books in Pure and Applied Mathematics 117, Marcel Dekker, Inc., New York, 1988.
 M. L. Knox, R. Levy, W. Wm. McGovern and J. Shapiro, Generalizations of complemented rings with applications to rings of functions, J. Alg. Appl. 8 (2009) 17-40.
 R. Levy, Almost-P-spaces, Canadian J. Math. 29 (1977) 284-288.
 T.G. Lucas, Weakly additively regular rings and special families of prime ideals, Palest. J. Math. 7 (2018) 14-31.
 J. Marot, Extension de la notion d’anneau valuation, Dept. Math. Faculte des Sci. de Brest (1968), 46 pp. et 39 pp. de complements.
 J. Martinez and S. Woodward, Bézout and Prüfer f-rings, Comm. Algebra 20 (1992) 2975-2989.
 R. Matsuda, On Marot rings, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 60 (1984) 134-137.
 D. Portelli and W. Spangher, Krull rings with zero divisors, Comm. Algebra 11 (1983) 1817-1851.
 B.V. Zabavsky, Type conditions of stable range for identification of qualitative generalized classes of rings, Algebra Discrete Math. 26 (2018) 144-152.

### سابقه مقاله

• تاریخ دریافت: 03 مهر 1401
• تاریخ بازنگری: 07 اردیبهشت 1402
• تاریخ پذیرش: 13 اردیبهشت 1402
• تاریخ اولین انتشار: 21 خرداد 1402