ساختار نگه دارنده‌های خطی قوی مهتری درجه

سیاری, یامین; محمدحسنی, احمد; دهقانیان, مهدی

doi:10.22055/jamm.2023.42660.2122

ساختار نگه دارنده‌های خطی قوی مهتری درجه

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسندگان

گروه ریاضی، دانشکده ریاضی و کامپیوتر، دانشگاه صنعتی سیرجان، سیرجان، ایران

10.22055/jamm.2023.42660.2122

چکیده

ماتریس مربعی ‎$D$‎ را تصادفی دوگانه گوییم هرگاه همه درایه‌های آن نامنفی باشند و مجموع درایه‌های هر سطر آن برابر با مجموع درایه‌های هر ستون آن و برابر با یک باشد. برای هر بردار سطری و ناصفر ‎$x=(x_1‎,‎‎‎\ldots,x_n)$‎ درجه بردار را بزرگ‌ترین عدد ‎$i$‎ تعریف می‌کنیم که ‎$x_i$‎ ناصفر باشد و درجه بردار صفر را برابر با صفر در نظر می‌گیریم. گوییم بردار سطری ‎$y$‎ مهتری درجه نسبت به ‎$x$‎ دارد و با نماد

$x\prec_{deg} y$

نمایش می‌دهیم‏،

هرگاه درجه ‎‎$‎x‎$‎ از درجه ‎$‎y‎$‎ کوچک‌تر یا مساوی باشد و ماتریس تصادفی دوگانه ‎$D$‎ یافت شود که ‎$x=yD$‎.

در این مقاله ساختار نگه‏‌دارنده‌های خطی مهتری درجه را روی فضای

‎‎$‎‎\mathbb{R}^2‎$‎‎‏‎‎

‏به‌دست می‌آوریم‏. هم‌چنین ساختار نگه‏‌دارنده‌های خطی قوی رابطه مهتری درجه را روی فضا‏های برداری حقیقی $‎‎\mathbb{R}^‎n‎‎$ پیدا ‏می‌کنیم.

کلیدواژه‌ها

موضوعات

آنالیز ریاضی

عنوان مقاله [English]

The structure of strongly linear preservers of degree majorization

نویسندگان [English]

Yamin Sayyari
Ahmad Mohammadhasani
Mehdi Dehghanian

Department of Mathematics, Sirjan University of Technology, Sirjan, Iran

چکیده [English]

A square matrix $D$ is called a ‎doubly‎ stochastic matrix if all its entries are non-negative and the sum of the entries of each row is equal to the sum of the entries of each column and is equal to one. For each linear and non-zero vector $x = (x_1, ‎‎\ldots, x_n)$, we define the degree of $x$ as the largest number ‎$‎i‎$‎ such that $x_i$ is non-zero and the degree of vector zero is zero. We say that a vector $x$ is degree majorized by $y$ and denote by $x\prec_{deg} y$ if the degree of $x$ is greater than or equal to the degree of $y$ and $x = yD$ for some doubly stochastic matrix $D$. ‎

In this paper, we ‎obtain‎ the structure of all linear preservers of degree majorization on space ‎‎$‎‎\mathbb{R}^2‎$‎‎‏‎. Also, we find the structure of all strong linear preservers of degree majorization on real vector spaces $‎‎\mathbb{R}^‎n‎‎$.

کلیدواژه‌ها [English]

Majorization&lrm
&lrm
m&lrm
ultivariate majorization&lrm
degree majorization&lrm
strongly linear preserver

مراجع

[1] ع. آرمندنژاد، مروری بر مهتری های عادی و تعمیم یافته و بررسی ساختار نگه دارنده های خطی آن ها، فرهنگ و اندیشه ریاضی، ۴۵، (1389)، 31-40.

[2] ا. محمدحسنی، ی. سیاری، ماتریس های زیر تصادفی سطری تعمیم یافته و مهتری، مدل سازی پیشرفته ریاضی، 12 (4) (1401)، 523-534.

[3] ا. محمدحسنی، ی. سیاری، م. سبزواری، نگه دارنده های خطی مهتر راست-چپ ماتریسی، موجک ها و جبرخطی، 8 (3) (1401)، 37-59.

[4] A. Armandnejad and Z. Gashool, Strong linear preservers of g-tridiagonal majorization on Rn, Elec. J. Linear Algeb. 123 (2012), 115–121.
[5] A. Armandnejad and A. Salemi, The structure of linear preservers of gs-majorization, Bull. Iranian Math. Soc. 32 (2) (2006), 31–42.
[6] R. Bahatia, Matrix Analysis, Springer-Verlag, New York, 1997.
[7] L. B. Beasley, S.G. Lee and Y.H. Lee, A characterization of strong preservers of matrix majorization, Linear Algebra Appl. 367 (2003), 341–346.
[8] R. A. Brualdi and G. Dahl, An extension of the polytope of doubly stochastic matrices, Linear and Multilinear Algebra, 6(3) (2013), 393–408.
[9] G.S. Cheon and Y.H. Lee, The doubly stochastic matrices of a multivariate majorization, J. Kor. Math. Soc. 32 (1995), 857–867.
[10] H. Chiang and C.K. Li, Generalized doubly stochastic matrices and linear preservers, Linear and Multilinear Algebra, 53 (2005), 1–11.
[11] G. Dahl, Matrix majorization, Linear Algebra Appl. 288 (1999), 53–73.
[12] M. Dehghanian and A. Mohammadhasani, A note on multivariate majorization, J. Mahani Math. Res. Cent. 11(2) (2022), 119–126.
[13] M.H. Hadian and A. Armandnejad, B-majorization and its linear preservers, Linear Algebra Appl. 478 (2015), 218–227.
[14] A. M. Hasani and A. Ilkhanizadeh Manesh, Linear preservers of two-sided right matrix majorization on Rn, Adv. Oper. Theory, 3 (3) (2018), 1–8.
[15] A. M. Hasani and M. Radjabalipour, The structure of linear operators strongly preserving majorizations of matrices, Elec. J. Linear Algeb. 15 (2006), 260–268.
[16] A. M. Hasani, Y. Sayyari and M. Sabzvari, G-tridiagonal majorization on Mn,m, Communications in Mathematics, 29 (3 (2021), 395 – 405.
[17] A. W. Marshall, I. Olkin, and B. C. Arnold, Inequalities: Theory of majorization and its applications, Springer, New York, 2011.
[18] Y. Sayyari, A. Mohammadhasani and M. Dehghanian, Linear maps preserving signed permutation and substochastic matrices, Indian J. Pure Appl. Math. 54 (2023), 219–223.