شرایط لازم بهینگی برای مسائل کنترل بهینه با تأخیرهای متغیر-زمانی

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 گروه ریاضی، دانشگاه پیام نور،ص. پ. ۴۶۹۷-۱۹۳۹۵ ، تهران، ایران

2 گروه ریاضی کاربردی، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه فردوسی مشهد، مشهد، ایران. و قطب علمی رایانش نرم و پردازش هوشمند اطلاعات، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه فردوسی مشهد، مشهد، ایران

چکیده

در این مقاله شرایط لازم بهینگی برای مسأله کنترل بهینه با تأخیر های متغیر- زمانی بررسی می شوند. اهمیت این مسأله در آن است که هر دو متغیر کنترل و حالت، تحت تأثیر تأخیر های وابسته به زمان می باشند. هم‌چنین تأخیر ها در تابعک هدف نیز اِعمال شده‌اند. وابستگی تأخیرها به زمان، باعث سخت‌شدن اثبات شرایط لازم بهینگی می شود. پیچیدگی اثبات این شرایط، در محاسبه تغییراتِ متغیر های کنترل و حالتِ تحت تأثیر این تأخیر ها می‌باشد. برای محاسبه و بررسی این تغییرات در متغیر های تأخیری کنترل و حالت، از تغییر متغیر مناسبی استفاده می کنیم. بدین ترتیب با اِعمال این تغییر متغیر و محاسبه تغییراتِ متغیرهای کنترل و حالت، شرایط لازم بهینگی برای مسأله اثبات می شود. در نهایت، با استفاده از این شرایط به حل چند مثال پرداخته و نتایج عددی به دست آمده ارائه می شوند.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


عنوان مقاله [English]

Necessary Optimality Conditions for Optimal Control Problems with Time-Varying Delays

نویسندگان [English]

  • Seyed Mojtaba Meshkani 1
  • Sohrab Effati 2
  • Aghileh Heydari 1
1 Department of Mathematics, Payame Noor University, 19395-4697, Tehran, Iran
2 Department of Applied Mathematics, Ferdowsi University of Mashhad, Mashhad, Iran. and Center of Excellence on Soft Computing and Intelligent Information Processing, Ferdowsi University of Mashhad, Mashhad, Iran
چکیده [English]

In this paper, necessary optimality conditions for a class of optimal control problems containing time-varying delays in control and state variables are discussed. There is an important aspect of these problems in that time-varying delays are applied to both state and control variables. Also, the cost functional of problems is influenced by the time-varying delays in state and control. We prove necessary optimality conditions in this study. A key aspect of the proof is calculating the variations of control and state variables when there are time-dependent delays. we make use of appropriate changing variables to derive these variations. In order to illustrate the use of these conditions, several examples are solved and numerical results are presented. At the end, some conclusions are drawn.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Optimal control problems
  • Time delay systems
  • Necessary optimality conditions
  • Nonlinear systems
  • Time-varying delay
1. Angell T. S. and Kirsch A., On the necessary conditions for optimal control of retarded systems, Applied Mathematics and Optimization, 22, (1990), 117–145.
2.Banks H. T., Necessary condition for control problems with variable time lags, SIAM Journal on Control, 8 (1), (1968), 9–47.
3.Banks H. T. and Burns J. A., Hereditary control problem: Numerical methods based on averaging approximations, SIAM Journal on Control and Optimization, 16 (2), (1978), 169–208.
4. Betts J. T, Campbell S. L. and Thompson K. C., Solving optimal control problems with control delays using direct transcription, Applied Numerical Mathematics, 108, (2016), 185-203.
5. Friesz T. L., Dynamic Optimization and Differential Games, Springer: New York, 2010.
6. Gollmann L, Kern D. and Maurer H., Optimal control problems with delays in state and control variables subject to mixed control-state constraints, Optim. Control Appl. Meth, 30 (4), (2009), 341–365.
7.Gollmann L. and Maurer H., Theory and applications of optimal control problems with multiple time-delays, Journal of Industrial & Management Optimization, 10 (2), (2014), 413-441.
8. Halanay A., Optimal controls for systems with time lag, SIAM Journal on Control, 6, (1968), 215–234.
9.Hoseini S. M. and Marzban H. R., Costate Computation by an Adaptive Pseudospectral Method for Solving Optimal control problems with piecewise constant Time Lag, Journal of Optim Theory Appl, 170 (3), (2016), 735–755.
10. Jajarmi A. and Hajipour M., An efficient finite difference method for the time-delay optimal control problems with time-varying delay, Asian Journal of Control, 19 (2), (2017), 554–563.
11. Jajarmi A., Hajipour M. and Baleanu D., A new approach for the optimal control of time-varying delay systems with external persistent matched disturbances, Journal of Vibration and Control, 24 (19), (2018), 4505–4512.
12.Kharatishvili GL, Maximum Principle in the theory of Optimal time-delay Processes,, Doklady Akademii Nauk, USSR, 136 (1), (1961), 39-42.
13. Liu C., Loxton R., Teo K. L. and Wang S., Optimal state-delay control in nonlinear dynamic systems, Automatica, 135, (2022), 109981.
14. Liu C., Gong Z., Teo K. L. and Wang S., Optimal control of nonlinear fractional-order systems with multiple time-varying delays, Journal of Optimization Theory and Applications, 193 (1), (2022), 856-876.
15.Mirhosseini-Alizamini S. M., Effati S. and Heydari A., An iterative method for suboptimal control of linear time-delayed systems, Systems and Control Letters, 82, (2015), 40–50.
16.Marzban H. R. and Hoseini S. M., Optimal control of linear multi-delay systems with piecewise constant delays, IMA Journal of Mathematical Control and Information, 00, (2016), 1–30.
 17.Marzban H. R., Pirmoradian H., A direct approach for the solution of nonlinear optimal control problems with multiple delays subject to mixed state-control constraints, Applied Mathematical Modelling, 53, (2018), 189-213.
18.Rakhshan S. A. and Effati S., Fractional optimal control problems with time- varying delay: A new delay fractinal Euler-Lagrange equations, Science Direct Journal of the Franklin Institute, 357 (10), (2020): 5954-5988.
19.Soliman M. A. and Ray W. H., On the optimal control of systems having pure time delay and singular arcs, International Journal of Control, 16 (5),(1972): . 963-976
20.Wu D. and Bai Y., Time- scaling transformation for optimal control problem with time- varying delay, Discrete and continuous dynamical systems series s, 13 (6), (2020), 1683–1695.