زیرمدول‌های کاملاً تحویل‌ناپذیر‏ و رده‌بندی ‎مدول‌های توزیع‌پذیر و آرتینی

خوجالی, احمد

doi:10.22055/jamm.2023.44275.2181

زیرمدول‌های کاملاً تحویل‌ناپذیر‏ و رده‌بندی ‎مدول‌های توزیع‌پذیر و آرتینی

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسنده

احمد خوجالی

دانشکده علوم، دانشگاه محقق اردبیلی، اردبیل، ایران

10.22055/jamm.2023.44275.2181

چکیده

فرض کنید ‎R‎ یک حلقه جابه‌جایی یکدار و M یک R‎-مدول یکانی باشد. در این مقاله ساختار زیرمدول‌های کاملاً تحویل‌ناپذیر را مورد مطالعه قرار داده و ابتدا ثابت می‌کنیم، زیرمدول K دارای شمارنده کاملاً تحویل ناپذیر است اگر و تنها اگر Soc(M/K) نابدیهی باشد که نتیجه می دهد ایده آل ماکسیمال m یک ایده آل اول وابسته بورباکی قوی K است اگر و فقط اگر K دارای یک شمارنده کاملاً تحویل‌ناپذیر m-اولین باشد. پس از آن زیرمدول هایی از M را که به صورت اشتراک غیر زاید زیرمدول های کاملاً تحویل ناپذیرند، رده‌بندی می‌کنیم. سپس نشان می‌دهیم که اگر R نوتری باشد، آن‌گاه M آرتینی است اگر و فقط اگر زیرمدول صفر آن تجزیه اولیه‌ای داشته باشد که مولفه‌های آن زیرمدول‌های کاملاً تحویل ناپذیرند. درنهایت، نشان می‌دهیم M توزیع پذیر است اگر و فقط اگر مجموعه زیرمدول‌های کاملاً تحویل ناپذیر آن به صورت { (Rx)m(Rx)_(m) | x ∈ M , m ∈ Max(R) ∩ Supp } باشد.

کلیدواژه‌ها

موضوعات

حلقه ها و مدول

عنوان مقاله [English]

Completely Irreducible Submodules and Characterization of Distributive and Artinian Modules

نویسنده [English]

ahmad khojali

Faculty of Sciences, University of Mohaghegh Ardabili, Ardabil, Iran

چکیده [English]

Let R be a commutative ring with identity and let M be a unitary R-module.In this paper, the structure of completely irreducible submodules will be studied and it is proved that a submodule K has a comlpetely irreducible divisor if and only if Soc(M/K) is nontrivial which implies that a maximal ideal m is an strongly Bourbaki associated prime ideal of K if and only if K has an m-primal completely irrducible divisor. Submodules of M that are representable as an irredundant intersection of an overfamily of completely irreducible submodules are characterized. Then it will be shown that, if R is a Noetherian ring, then M is Artinian if and only if its zero submodule has a primary decomposition whose components are completely irreducible submodules. Finally, it is proved that M is distributive if and only if the set of its completely irreducible submodules is:
{ m(Rx)_(m) | x ∈ M , m ∈ Max(R) ∩ Supp(Rx) }.

کلیدواژه‌ها [English]

‎completely irreducible submodule
‎primal submodule‎
‎distributive module

مراجع

[1] Bourbaki, N., 1998. Commutative algebra: chapters 17 (Vol. 1). Springer Science & Business Media.
[2] Dauns, J., 1997. Primal Modules, Communications in Algebra, 25 (8), pp.24092435. doi:
10.1080/00927879708825998
[3] Fuchs, L., 1948. A condition under which an irreducible ideal is primary, The Quarterly Journal of Mathematics, 19(1), pp.235237. doi: 10.1093/qmath/os19.1.235
[4] Fuchs, L., 1950. On primal ideals, Proceedings of the American Mathematical Society, 1(1), pp.16. doi: 10.1090/S00029939195000325848
[5] Fuchs, L., Heinzer, W. and Olberding, B., 2005. Commutative ideal theory without finiteness conditions: primal ideals. Transactions of the American Mathematical Society, 357(7), pp.27712798. doi: 10.1090/S000299470403583

[6] Fuchs, L., Heinzer, W. and Olberding, B., 2006. Commutative ideal theory without finiteness conditions: Completely irreducible ideals. Transactions of the American Mathematical Society, 358(7), pp.31133131. doi: 10.1090/S0002994706038153
[7] Heinzer, W. and Lantz, D., 1981. The Laskerian property in commutative rings. Journal of Algebra, 72(1), pp.101114. doi: 10.1016/00218693(81)903136
[8] Sharpe, D.W. and Vámos, P., 1972. Injective modules. Cambridge University Press, London.
[9] Smith, P. F., 1988. Some remarks on multiplication modules. Archiv der Mathematik, 50, pp.223235. doi: 10.1080/00927872.2011.628724
[10] Zamani, N., 2011. Finitely generated graded multiplication modules. Glasgow Mathematical Journal, 53(3), pp.693705. doi: 10.1017/S0017089511000279