پیرامون ویژگی های جبرهای بولی القاء شده با یک گروه مشبکه یکانی

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 گروه ریاضی، واحد لاهیجان، دانشگاه آزاد اسلامی، لاهیجان، ایران

2 گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه قم، قم، ایران

چکیده

دراین مقاله ما به بررسی روابط بین گروه های مشبکۀ یکانی و جبرهای بولی می پردازیم. ابتدا چند ویژگی مهم گروه های مشبکه را ثابت خواهیم کرد. در ادامه می بینیم که هر گروه مشبکۀ یکانی، یک جبر بولی را القاء می کند و چند ویژگی این جبر بولی را بررسی می کنیم. به عنوان نمونه ثابت می کنیم که جبر بولی القاء شده با گروه مشبکۀ همه توابع اندازه پذیر حقیقی مقدار بر یک فضای اندازه، متشکل از همه توابع مشخصه است. همچنین خواهیم دید که در برخی حالات، این جبرهای بولی، بدیهی خواهند بود.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


عنوان مقاله [English]

On the properties of the Boolean algebras induced by a unital lattice ordered group

نویسندگان [English]

  • Soudaabeh Karamdoost 1
  • Hassan Myrnouri 1
  • Mahmood Pourgholamhossein 2
1 ) Department of Mathematics, Lahijan Branch, Islamic Azad University, Lahijan, Iran.
2 ) Faculty of Mathematics, Department of Science., University of Qom, Qom, Iran.
چکیده [English]

In this paper we study the relations between unital lattice-ordered groups and Boolean algebras. At first we prove some main results about the properties of lattice-ordered groups. Then we see that every unital lattice-ordered group induces a Boolean algebra and we investigate some properties of the Boolean algebra. For instance, we prove that the Boolean algebra induced by the lattice-ordered group of all measurable real valued functions on a measure space, consists of all characteristic functions. We also see that in some cases, these Boolean algebras are trivial.

کلیدواژه‌ها [English]

  • MV-algebra
  • l-group
  • unital l-group
  • ordered unit
  • Boolean algebra
[1] Aliprantis, C. D and Burkinshaw, O., Locally Solid Riesz Spaces with Applications to Economics, MathSurveys and Monographs, Volume 105, American Math. Society, 2003. MR 2005b:46010.
[2] Ball R. N., Topological lattice-ordered groups, Pacific Journal of Mathematics, Vol. 83, No. 1 (1979)1-26.
[3] Banaschewski B., Ebrahimi M.M. and Mahmoudi M., On the normal completion of Boolean algebra,Journal of pure and applied algebra (2003) 1-14.
[4] Birkhoff, G.,Lattice Theory, A.M.S. Colloquium Publications XXV, Providence, RI 1967.
[5] Chang C.C., Algebraic analysis of many valued logics, Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 88 (1958) 467-490.
[6] Cignoli R., Ottaviano I. M. L. D and Mundici D., Algebraic Foundations of many-valued Reasoning,Kluwer Academic Publ, Dordrecht (2000).
[7] Darnel M. R, Theory of lattice − ordered groups, Marcel Dekker, New York (1995).
[8] Dvurecenskij D. and Pulmannova S., New trends in quantum structures, Springer Science-Dortrecht(2000).
[9] Glass A. M. W., Partially Ordered Groups, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd (1999).
[10] Foulis D. J., Compressions on partially ordered abelian groups, Proc. Amer. Math. Soc. 132 (2004),3581–3587.
[11] Foulis D. J. and Pulmannova. S., Monotone σ-Complete RC-Groups, J. London Math. Soc, Vol. 73,No. 2 ( 2006) 304-324.
[12] Goodearl K. R., Partially Ordered Abelian Groups With Interpolation, Amer. Mathematical Society(Mathematical Surveys and Monographs) (2010).
[13] Hahn H., Uber die nichtarchimedischen Groben-systeme, Sitz. ber. K. Akad. der Wiss., Math. Nat.KI. IIa Vol. 116 (1907) 601-655.
[14] Halmos P. and Givant S., Introduction to Boolean Algebras, Springer-Verlag New York (UndergraduateTexts in Mathematics) (2009).
[15] Jordan F. and Pajoohesh H., Topologies on abelian lattice ordered groups induced by a positive filterand completeness, Algebra Universalis, 79(62) (2018) 1-18.
[16] Kadison R.V., A representation theory for commutative topological algebra, Mem. A M S, No. 7(1951).
[17] Koppelberg S., Handbook of Boolean algebras, Vol. 1. Edited by J. Donald Monk and Robert Bonnet.North-Holland Publishing Co., Amsterdam, (1989).
[18] Kopperman R., Pajoohesh H. and Richmond T., Topologies arising from metrics valued in abelianl-groups, Algebra Universalis, 65 (2011) 315-330.
[19] Mahmoudi M., M-Boolean envelope of M-distributive lattices, Italian journal of pure and appliedmathematics (2001) 133-138.
[20] Mundici D., Interpretation of AF C*-algebras in Lukasiewicz sentential calculus, J. Funct. Anal, 65(1986) 15-63.
[21] Pourgholamhossein M. and Ranjbar M.A., On the topological mass Lattice Groups, Positivity, 23(4)(2019) 811-827.
[22] Ranjbar M.A and Pourgholamhossein M., Filter and weak link topologies, Algebra Universalis, 81,41 (2020). https://doi.org/10.1007/s00012-020-00670-w.
[23] Vladimirov D.A., Boolean algebras in analysis, Springer Science Business Media Dordrecht (2002).
[24] Wu S., Luan W. and Yang Y., Filter topologies on MV -algebras ll, Soft Computing, 24 (2020)
3173–3177.